Mathematische Methoden der Physik II

1  Matrix-Lie Gruppen

1. Grundbegriffe
2. Die Drehgruppe SO(3) und die Euler Winkel
3. Der Homomorphismus SO(3)  -> SU(2)
4. Die Lie Algebra einer Matrix-Lie Gruppe
5. Die Campbell-Baker-Hausdorff Formel
6. Darstellungen von Lie Algebren; Beziehungen zwischen die Darstellungen einer Lie Gruppe und ihrer Lie Algebra; die adjungierte Darstellung
7. Die Komplexifizierung von su(n)
8. Die komplexen irreduziblen Darstellungen von su(2)
9. Die komplexen irreduziblen Darstellungen von SU(2) und von SO(3) ; die projektiven Darstellungen von SO(3)

• [F2, 5.1-5.4, 6, 7.1-7.4]

2  Funktionentheorie

1. Der Residuensatz
2. Residuenkalkül
3. Anwendungen

• [BN, 10, 11.1]

3  Distributionen

1. Motivationen
2. Der topologische Vektorraum D der Testfunktionen
3. Der topologische Vektorraum D' der Distributionen
4. Beispiele von Distributionen: lokal integrierbare Funktionen; reguläre Distributionen; die delta-,,Funktion``
5. Operationen auf Distributionen (Ableitungen, lineare Variablentransformationen, Translationen, Multiplikation mit glatten Funktionen) und entsprechende Sätze
6. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten auf D'(R)
7. Das direkte Produkt von Distributionen und seine Eigenschaften
8. Die Faltung von Testfunktionen und von Distributionen mit kompaktem Träger; Eigenschaften
9. Grundlösungen
10. Beispiel: die Grundlösung des Laplace Operators in 1 , 2 und 3 Dimensionen

• [RY, 2]
• [RR, 5.1, 5.2, 5.3]

4  Fourierreihen

1. Grundbegriffe und Motivationen
2. Komplexwertige und reellwertige Darstellungen von Fourierreihen
3. Das Lemma von Riemann-Lebesgue
4. Der Dirichlet Kern und punktweise Konvergenz
5. Der Fejér Kern und gleichmässige Konvergenz
6. Die Fourierreihe der periodischen delta-,,Funktion``
7. Der periodische Wärmeleitungskern

• [F1, 1.1-1.3, 1.5, 1.6]
• [RY, 2]

5  Fouriertransformationen

1. Grundbegriffe und Motivationen
2. Schwartzfunktionen und der topologische Vektorraum S(Rⁿ)
3. Temperierte Distributionen
4. Der Umkehrsatz auf S(Rⁿ)
5. Die Fouriertransformation von temperierten Distributionen und insbesondere von Distributionen mit kompaktem Träger
6. Faltung und Fouriertransformation

• [RR, 5.4]
• Sieh auch [F1, 2]

6  Hilberträume

1. Grundbegriffe
2. L² - und l² -Räume
3. Beziehungen mit Distributionen
4. Bessel Ungleichung und Parseval Identität
5. L² -Konvergenz von Fourierreihen

• [RR, 6.1, 6.2]
• [F1, 3.2, 3.3]

References

[BN] J. BAK, D. NEWMAN, Complex Analysis, Second Edition, Springer, 1996.

[F1] G. FELDER, Mathematische Methoden der Physik I, Notizen,

www.math.ethz.ch/~felder/mmp/mmp1/Mmp1AllesineinerDatei.ps.

[F2] G. FELDER, Mathematische Methoden der Physik II, Notizen,

www.math.ethz.ch/~felder/mmp/mmp2/Mmp.ps.

[RR] M. RENARDY, R. C. ROGERS, An Introduction to Partial Differential Equations, Springer, 1993.

[RY] J. I. RICHARDS, H. K. YOUN, Theory of Distributions, Cambridge University Press, 1990.

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On 25 Jul 2000, 18:45.