Mathematische Methoden der Physik I

1  Gewöhnliche Differentialgleichungen

1. Grundbegriffe
2. Existenz- und Eindeutigkeitssatz
3. Gleichungen von höherer Ordnung und Systeme
4. Lineare Systeme mit allgemeinen Koeffizienten und iterierte Integrale
5. Gleichungen erster Ordnung: lineare Gleichungen, Gleichungen mit separierbaren Variablen, Ähnlichkeitsgleichungen, Bernoullische Gleichungen
6. Lineare Gleichungen höher Ordnung mit konstanten Koeffizienten; Eulersche Gleichungen
7. Newtonsche Gleichungen; konservative Kräfte, Energieerhaltungssatz, Phasenporträt; der eindimensionale Fall
8. Lösungen durch Potenzreihen von linearen Gleichungen mit analytischen Koeffizienten; die Besselsche Gleichung
9. Autonome Systeme, Flüsse und Vektorfelder
10. Exakte Gleichungen und Differentialformen

• H. AMANN und J. ESCHER, Analysis II, Birkhäuser (1999): Kapitel VII.8.
• H. AMANN, Gewöhnliche Differentialgleichungen, 2. Auflage, de Gruyter (1995): Kapitel II; Kapitel III 11, 12, 14.

2  Tensoranalysis

1. Die Tensoralgebra und die äussere Algebra
2. Das Tensorprodukt, die Verjüngung, das äussere Produkt
3. Tensorielle und äussere Produkte linearer Abbildungen
4. Moduln, Algebren, Lie Algebren, Derivationen
5. Vektor- und Tensorfelder und Differentialformen auf Rⁿ
6. Die Vektorfelder als Richtungsableitungen
7. Die Lie Algebra von Vektorfeldern
8. Der Pullback und der Pushforward
9. Die Lie Ableitung von Vektorfeldern und 1-Formen
10. Die äussere Ableitung
11. Die Vektoroperatoren grad, rot und div

• R. W. R. DARLING, Differential forms and connections, Cambridge University Press (1994): Kapiteln 1 und 2.
• H.-J. KOWALSKY, Lineare Algebra, de Gruyter (1967): Kapitel 11

3  Gruppen

1. Grundbegriffe
2. Wichtige Beispiele: symmetrische Gruppen; dihedrale Gruppen; GL(n) , U(n) , O(n) , O(p,q) ; die speziellen Gruppen
3. Produkte und direkte Produkte von Gruppen
4. Gruppenhomomorphismen, Faktorgruppen und Isomorphiesätze
5. Die Begriffe von Zusammenhang und Kompaktheit von Lie Gruppen und entsprechende Sätze für die Matrixgruppen
6. Die Gruppen U(1) , O(2) und O(1,1)
7. Darstellungen: Reduzibilität und Irreduzibilität; die Zerlegung einer Darstellung
8. Komplexe und unitäre Darstellungen
9. Das Schursche Lemma
10. Darstellungstheorie endlicher Gruppen: Charakteren, Orthogonalitätsrelationen, die reguläre Darstellung, die Charakterentafel, die kanonische Zerlegung. Erweiterung zu kompakten Gruppen; die komplexen irreduziblen Darstellungen von U(1) .

• G. FELDER, Mathematische Methoden der Physik II, Notizen, www.math.ethz.ch/~felder/mmp/mmp2/Mmp.ps: Kapiteln 1, 2, 3

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On 5 Jun 2000, 17:26.